Как вы справляетесь с фоновой тревогой? Есть ли связь, на ваш взгляд, между рабочей продуктивностью и тревогой?

Как мне кажется, здесь все сугубо индивидуально. Некоторым людям, включая меня, погружение в работу, наоборот, помогает снизить уровень фоновой тревоги.
Помимо этого, помогает спорт (выброс эндорфинов и адреналина в частности), долгие прогулки на свежем воздухе, ведение дневника от руки (Откуда это тревога? Есть ли рациональные причины тревожиться? Что я могу для себя сейчас сделать, чтобы помочь?)

Как вы думаете почувствуете ли вы тревогу, если близкий человек запрет вас в помещении, от которого у вас нет ключа?

Я думаю, это будет спектр чувств от растерянности, до раздражения. Тревога, возможно, наступит только через длительное время и смениться злостью.

Нервность и тревожность это проявление нарушений ментального здоровья?

Не всегда. Иногда тревога и нервность это нормальные реакции психики на порой ненормальные для нее обстоятельства, на стрессовые состояния.
Иногда же они могут быть системными симптомами более глубоких внутренних проблем. 
Применительно к себе с подобными темами необходимо быть аккуратным, их надо исследовать индивидуально.