Как вы считаете почему, когда у наших близких проблема, мы их всячески подбадриваем и поддерживаем, но как только проблема у нас мы себе сами этого же не оказываем?

Это происходит из-за наличия зеркальных нейронов и различной степени эмпатии и саморефлексии. Я считаю, что дело в позициях восприятия.
Когда человек воспринимает ситуацию из первой позиции, то есть происходящую с собой, он сфокусирован на своих ощущениях и действует из стратегий, которые у него имеются в бессознательном. Это могут быть и агрессия, и замирание, и избегание или другие по ситуации. В частном случае, когда человеку просто "плохо", то чаще включается либо инфантильный режим, стратегия – "мне должен помочь родитель", либо тот, который приобретен в результате социализации. Чаще всего это – "терпи, не показывай, что тебе плохо, иначе будет хуже". В лучшем случае, если социализация происходила экологично, это будет стратегия – "так бывает, я в любом случае получаю поддержку от самого себя и окружения".
Эту стратегию можно изменить с помощью инструментов психологии, работая с самооценкой.
В ситуации, когда что-то происходит "плохое" с близкими, включается вторая позиция восприятия. "Я чувствую то же, что и они". Это как раз способность к эмпатии, которая у ребенка развивается примерно к 7 году. 
В этой позиции восприятия природа предусмотрела для выживания группы отличный механизм, эмпатия + способность сохранять ресурс, способность помочь. Это происходит благодаря свободному ресурсу внимания. Человек не фиксирован на проблеме большей частью, у него есть способность и возможность помочь.
Максимально эта способность присуща медикам, пожарным, спецслужбам, бизнесменам, политикам. Она тренируется для того, чтобы быстро и четко оказывать помощь, получая только нужную информацию и при этом не погружаясь в ощущения, связанные с эмпатией.
Максимально эмпатичные люди лучше всего себя проявляют в духовной сфере, в благотворительности, волонтерстве. При этом у них наблюдается нехватка ресурса в быстром принятии решений.
Профессиональная деформация зачастую является побочным эффектом развития только в одну сторону.
Чтобы этого не происходило, психологи и коучи используют прием, называемый "коуч-позиция". Это новый навык, который встраивается по технологии. Он позволяет включать режим безоценочности происходящего с сохранением возможности обрабатывать эмпатическую информацию, не вовлекаясь в эмоции и переживания клиента. При этом используется поддерживающее мета-сообщение "я на твоей стороне, я готов тебе помочь". Так клиент остается открыт для работы с ним и восприимчив к воздействию психологических инструментов.

Как вы считаете, слова или выражения, имеющие в обществе негативный смысл, влияют на здоровье произносящего их человека? Или влияние на самочувствие может происходить лишь в случае эмоциональной привязки к вербальным символам?

Очень многое зависит от общества и семантической нагрузки. Скажем так:
Между тем, что я понимаю. 
Между тем, что я думаю, что понимаю. 
Тем, что я хочу сказать, чтобы вы поняли. 
Тем, что, как мне кажется, говорю. 
Тем, что я говорю. 

И тем, что вы хотите услышать. 
Тем, что, как вам кажется, вы слышите,
Тем, что вы хотите понять. 
Тем, что вы можете понять. 
Тем, что вы реально понимаете.

Как вы считаете, если бы в стране больше заботились о ментальном здоровье людей и подростков, больше бы уделяли внимания этой теме, какие бы социальные проблемы на ваш взгляд это могло решить?

Алкоголизм, наркомания и самоубийства – три поистине страшных социальных проблемы, которые частично могут предостерегаться, если наше общество будет больше времени и внимания уделять ментальному здоровью граждан.
Ни для кого не секрет, что зачастую люди приходят к алкоголю и наркотикам, чтобы справиться со своими проблемами или к суициду, когда считают, что у них уже не получится выйти из каких-либо ситуаций.
Обществу стоит больше заниматься ментальным здоровьем людей на всех жизненных этапах. Оказывать психологическую помощь в школах и ВУЗах, где дети и подростки зачастую сталкиваются с огромным стрессом. Индивидуальные и групповые терапии нужны и на работе для сотрудников, что поможет избежать выгорания сотрудника.
Так же не стоит забывать про учреждения, в которые может обратиться любой желающий вне зависимости от возраста и социального статуса.

Что вы делаете для поддержания ментального здоровья?

Основные вещи для улучшения и поддержания ментального здоровья, которые показали свою эффективность для меня (не в порядке приоритетности): 
• Время с семьей – моя жена и дочь это лучшее напоминание о том, что по-настоящему важно в жизни, и где лежат долгосрочные приоритеты; 
• Качественный сон не менее 7,5 часов в среднем за неделю, но без серьезного нарушения режима – на выходных можно максимум на час дольше, чем на буднях; 
• Баланс работы и отдыха – установил для себя, что если начинаю тратить больше 60 часов на работу, не успеваю восстанавливаться; 
• Работа с психотерапевтом – 1 час в неделю – практикую уже пол года, и начал чувствовать себя значительно лучше в этот период с т.з. ментального здоровья; 
• Медитация 15 минут в день перед сном с приложением – практикую уже пару лет каждый день, очень помогло с концентрацией внимания и осознанностью; 
• Регулярный спорт – каждый день делаю зарядку с растяжкой и упражнениями с собственным весом, 2 раза в неделю бегаю примерно 30 км в сумме; 
• Ограниченное употребление изменяющих сознание веществ – стараюсь употреблять алкоголь не чаще раза в неделю и не больше бутылки вина за раз, а также полностью исключил кофеин; 
• Чтение правильных книг для осознания истинной природы вещей с последующей практикой техник и образа мыслей, которые предлагают авторы.